جبر للمتفوقين

حل الأستاذ : سامح الدهشان

اقتباس:

محاولة للحل : ( س + 1 ) ( س + 2 ) × س ( س + 3 ) = 9/16 ( س^2 + 3 س + 2 ) ( س^2 + 3 س ) = 9/16 ==> ( س^2 + 3 س )^2 + 2 ( س^2 + 3 س ) = 9/16 ===> بوضع س^2 + 3 س = ص ص^2 + 2 ص - 9/16 = صفر ( ص + 9/4 ) ( ص - 1/4 ) = صفر ص = - 9 / 4 أو ص = 1/4 بالتعويض ===> س^2 + 3 س = - 9 / 4 4 س^2 + 12 س + 9 = صفر ( 2 س + 3 )^2 = صفر ================> س = -3/2 بحث الشق الثاني : س^2 + 3 س - 1/4 = صفر ( س + 3/2 )^2 - 10 / 4 = صفر ( س + 3/2 )^2 = 10 / 4 س = [ - 3 + جذر10 ] / 2 أو س = [ - 3 - جذر 10 ] / 2

اذا كانت س عددا حقيقيا وكان 4ص^2 + 4س ص + س + 6 = 0 فأن قيم س التى تجعل ص حقيقية هى

محاولة للحل :

4 ص^2 + 4 س ص + س^2 - ( س^2 - س - 6 ) = صفر

===> ( 2 ص + س )^2 = ( س^2 - س - 6 )

===> 2 ص = - س + أو - جذر ( س^2 - س - 6 )

في حالة الجمع والطرح المجال وأحد

مجال جذر ( س^2 - س - 6 ) = مجال جذر[ ( س - 3 ) ( س + 2 ) ]

ح - ] - 2 ، 3 [


مجال ( - س ) = ح

أذن قيم ص تنتمي للفترة ح - ] - 2 ، 3 [

اوجد كل الجذور الحقيقية للمعادلة س (س + 1) ( س+ 2) ( س + 3) = 9÷16 بشغل اعدادى

محاولة للحل :

( س + 1 ) ( س + 2 ) × س ( س + 3 ) = 9/16

( س^2 + 3 س + 2 ) ( س^2 + 3 س ) = 9/16

==> ( س^2 + 3 س )^2 + 2 ( س^2 + 3 س ) = 9/16


===> بوضع س^2 + 3 س = ص


ص^2 + 2 ص - 9/16 = صفر

( ص + 9/4 ) ( ص - 1/4 ) = صفر


ص = - 9 / 4 أو ص = 1/4

بالتعويض ===> س^2 + 3 س = - 9 / 4

4 س^2 + 12 س + 9 = صفر

( 2 س + 3 )^2 = صفر ================> س = -3/2

بحث الشق الثاني :


س^2 + 3 س - 1/4 = صفر

( س + 3/2 )^2 - 10 / 4 = صفر

( س + 3/2 )^2 = 10 / 4

س = [ - 3 + جذر10 ] / 2 أو س = [ - 3 - جذر 10 ] / 2

ممكن ايجاد مجموع مكعبات الاعداد الطبيعية التالية
1^3 + 2^3 + 3^3 + ------------------+ ن^3

ممكن ايجاد مجموع مكعبات الاعداد الطبيعية التالية 1^3 + 2^3 + 3^3 + ------------------+ ن^3 محاولة للحل : 1^3 + 2^3 + 3^3 + ------------------+ ن^3 = ( 1 + 2 + 3 + 0000000000 + ن )^2 لأن مجموع ح1 + ح 2 = مربع كامل = ( 1 + 2 )^2 وهكذا حتي الحد الأخير = [ ن ( ن + 1 ) / 2 ] ^2

اثبت ان لكل ن تنتمى ص الموجبة العدد النسبى ( 21ن + 4) ÷ ( 14ن +3) يكون دائما فى ابسط صورة حل الأستاذ الفاضل : محمد الزواوي اقتباس: ن عدد صحيح موجب اذا كلا من العددين (21ن+4)،(14ن+3) صحيحيان موجبان لكى بكون (21ن+4) ÷(14ن+3)ليس فى ابسط صوره يجب ان يكون (14ن+3 )احد عوامل ( 21ن +4) بفرض 21ن+4=م(14ن+3) حيث م عدد صحيح موجب اذا 21ن+4= 14ن م+ 3 م اذا ( 21 - 14م) ن = (3م - 4) اذا ن= (21 - 14 م) / (3م-4) الان لدينا الاحتمالين (1) 21 - 14 م > 0 ومنها 3/2 > م ، 3م-4 >0 ومنها م > 4/3 ومنهما معا 8/6 < م < 9 / 6 اذا م ليست عدد صحيح و هذا يناقض الفرض اذا (14 ن + 3) ليست عامل من عوامل 21 ن +4 والكسر يكون فى ابسط صوره (2) 21 - 14 م < 0 ومنها م > 3/2 ، 3م- 4 <0 ومنها م< 4/3 وهذا مستحيل اذا دائما الكسر المعطى فى ابسط صوره مهما كانت قيمه ن الصحيحه الموجبه

مسالة قديمة شويه مثل على خط الاعداد الجذر تربيعى( (3.1)^2 + (4.2)^2 ) او ممكن السؤال ابحث الفترة التى ينتمى اليها الجذر

ممكن رسم مثلث قائم الزاوية طول ضلعي القائمة = 3.1 وحدة طول ، 4.2 وحدة طول فيكون مربع طول وتره = ( 3.1 )^2 + ( 4.2 )^2 طول القطعة المستقيمة الممثلة للوتر = جذر [ ( 3.1 )^2 + ( 4.2 )^2 ] ونفتح الفرجار فتحه طولها القطعة المستقيمة ونحدد نقطة تقاطع الفرجار مع خط الأعداد فتكون النقطة المعينة هي الممثلة للعدد علي خط الأعداد للتحقيق : ( 3.1 )^2 + ( 4.2 )^2 = ( 3.1 + 4.2 )^2 - 2 × 3.1 × 4.2 = 109 / 4 ===> طول القطعة المستقيمة = 1/2 جذر ( 109 ) لتحديد الفترة 7 < ( 3.1 + 4.2 ) < 8 بتربيع الطرفين 49 < ( 3.1 )^2 + ( 4.2 )^2 + 2 ك < 64 49 - 2 ك < ( 3.1 )^2 + ( 4.2 )^2 < 64 - 2 ك بأخذ الجذر التربيعي للمتباينة بإعتبار أننا نتعامل مع كميات موجبة دائما ==> بفرض أن م = جذر ( 49 - 2 × 3.1 × 4.2 ) = جذر( 574 ) / 5 ===> بفرض أن هـ = جذر ( 64 - 2 × 3.1 × 4.2 ) = جذر( 949 ) / 5 أذن المقدار ينتمي للفترة ] م ، هـ [ وإن كنت أعتقد أن الفكرة المطلوبة ليس كما كتبت ولكن محاولة وخاصة إن قيمة الجذور جميعها مقامها 5

احسب عددحلول المعادلة 3س + 4ص = 1008 بحيث س ، ص اعداد صحيحة موجبة حل الأستاذ الفاضل : محمد الزواوي اقتباس: السلام عليكم ورحمه الله وبركاته الاخ الفاضل المحترم وليد اقتباس: احسب عددحلول المعادلة 3س + 4ص = 1008 بحيث س ، ص اعداد صحيحة موجبة من المعادله : س =( 1008 - 4ص ) / 3 وحيث ان س عدد صحيح اذا 1008 -4 ص تقبل القسمه على 3 اذا 4 ص تقبل القسمه على 3 اذا ص تقبل القسمه على 3 ـــــــــــــــــ(1) وحيث ان س عدد صحيح موجب اذا 4 ص < 1008 اذا ص < 252 اذا ص تنتمى للمجموعه { 3 ، 6 ، ---------------، 249} وهى متتابعه فيه أ = 3 ، د = 3 ، ل = 249 ولايجاد عدد حدودها نحاول الحصول على رتبه الحد الاخير 249 = 3 + (ن-1)×3 من قانون الحد العام اذا ن-1 = 82 اذا ن = 83 اذا عدد حلول المعادله = 83 حلا

اذا علم ان أ ، ب ، حـ ، ء اعداد حقيقية موجبة اثبت ان ( أ حـ + ب ء) ÷ ( حـ + ء) تقع دائما بين أ ، ب حل الأستاذ الفاضل محمد الزواوي اقتباس: اخى الفاضل المحترم وليد مجهودك واضح وتمارينك جميله بالفعل اقتباس: اذا علم ان أ ، ب ، حـ ، ء اعداد حقيقية موجبة اثبت ان ( أ حـ + ب ء) ÷ ( حـ + ء) تقع دائما بين أ ، ب بفرض أ <ب (1) أ< ب =====> ان أ د < ب د لاحظ ب موجبه اذا ا جـ + أ د < أ جـ + ب د اذا أ (جـ +د) < أ جـ +ب د اذا أ< ( أ جـ +ب د) ÷(جـ +د) ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ(1) (2) أ < ب =====> أن أ جـ < ب جـ لاحظ جـ موجبه اذا أ جـ + ب د < ب جـ + ب د اذا أ جـ + ب د < ب ( جـ + د) اذا( أ جـ +ب د )÷ (جـ +د)< ب ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ (2) من (1)،(2) (أ جـ +ب د)÷(جـ+د) محصوره بين ا ، ب --------------------------------------------------------------------------------

احسب عددحلول المعادلة 3س + 4ص = 1008 بحيث س ، ص اعداد صحيحة موجبة من المعادله : س =( 1008 - 4ص ) / 3 وحيث ان س عدد صحيح اذا 1008 -4 ص تقبل القسمه على 3 اذا 4 ص تقبل القسمه على 3 اذا ص تقبل القسمه على 3 ـــــــــــــــــ(1) وحيث ان س عدد صحيح موجب اذا 4 ص < 1008 اذا ص < 252 اذا ص تنتمى للمجموعه { 0 ، 3 ، 6 ، ---------------، 249} وهى متتابعه فيه أ = 0 ، د = 3 ، ل = 249 ولايجاد عدد حدودها نحاول الحصول على رتبه الحد الاخير 249 = 0 + (ن-1)×3 من قانون الحد العام اذا ن-1 = 83 اذا ن = 84 اذا عدد حلول المعادله = 84 حلا

اثبت ان لكل ن تنتمى ص الموجبة العدد النسبى ( 21ن + 4) ÷ ( 14ن +3) يكون دائما فى ابسط صو ن عدد صحيح موجب اذا كلا من العددين (21ن+4)،(14ن+3) صحيحيان موجبان لكى بكون (21ن+4) ÷(14ن+3)ليس فى ابسط صوره يجب ان يكون (14ن+3 )احد عوامل ( 21ن +4) بفرض 21ن+4=م(14ن+3) حيث م عدد صحيح موجب اذا 21ن+4= 14ن م+ 3 م اذا ( 21 - 14م) ن = (3م - 4) اذا ن= (21 - 14 م) / (3م-4) الان لدينا الاحتمالين (1) 21 - 14 م > 0 ومنها 3/2 > م ، 3م-4 >0 ومنها م > 4/3 ومنهما معا 8/6 < م < 9 / 6 اذا م ليست عدد صحيح و هذا يناقض الفرض اذا (14 ن + 3) ليست عامل من عوامل 21 ن +4 والكسر يكون فى ابسط صوره (2) 21 - 14 م < 0 ومنها م > 3/2 ، 3م- 4 <0 ومنها م< 4/3 وهذا مستحيل اذا دائما الكسر المعطى فى ابسط صوره مهما كانت قيمه ن الصحيحه الموجبه

متوازى مستطيلات مساحة 3 أوجه متجاورة هى 5 ، 9 ، 20 وحدة طول مربعة اوجد حجمة وطول قطرة

بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
احسب كم رقم فى هذا العدد الغريب 2^1999 × 5^1989

-------------------------------------------------------------------------------- احسب قيمة الرموز التالية اذاكانت جميعها اعداد صحيحة أى مجموع four five = nine four five ____ nine

متوازى مستطيلات مساحة 3 أوجه متجاورة هى 5 ، 9 ، 20 وحدة طول مربعة
اوجد حجمة وطول قطرة



السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

نفرض أن بعدي القاعدة هما س ، ص وحدة طول والإرتفاع = ع وحدة طول



===> س ص = 9 ============> ( 2 )

===> س ع = 5 =============> ( 3 )

====> ص ع = 20 ============> ( 3 )

بضرب المعادلات الثلاثة

==> ( س ص ع )^2 = 900

===> س ص ع = حجم متوازي المستطيلات = 30 وحدة مكعبة

طول قطرة = جذر ( س^2 + ص^2 + ع^2 )


عودة للمساحة الجانبية ==> ع ( س + ص ) = 25

==> 5/س ( س + 9/س ) = 25

==> 5 + 45 / س^2 = 25

===> 20 س^2 = 45

===> س^2 = 9/4 بتربيع المعادلة الأولي ==> س^2 ص^2 = 81

أذن ==> ص^2 = 36

أذن ===> س^2 ع^2 = 25 ===> ع^2 = 100 / 9

أذن ( س^2 + ص^2 + ع^2 ) = 9/4 + 36 + 100 / 9 = 49

طول القطر = 7

بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
احسب كم رقم فى هذا العدد الغريب 2^1999 × 5^1989



( 2 )^1999 × ( 5 )^1999 ÷ 5

= ( 10 )^1999 ÷ 5

= 2 × ( 10 )^1989

الأرقام الموجودة ستكون ( 0 ، 2 )

عدد منازل العدد الناتج = 1990 منزلة

بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
احسب كم رقم فى هذا العدد الغريب 2^1999 × 5^1989



نفرض العدد س
ثم ندخل اللوغاريتم العشري عليه
يكون :
لو س = 1999لو 2 + 1989 لو5 الناتج يساوي تقريبا 1992
فيكون عدد أرقام هذا العدد = 1993

[QUOTE=walid rushdy][align=center]بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
احسب كم رقم فى هذا العدد الغريب 2^1999 × 5^1989 [/align][/QUOTE]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته

كاتب النص الأصلي : walid rushdy
بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
احسب كم رقم فى هذا العدد الغريب 2^1999 × 5^1989



[size=5]
بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
اولا اشكر الاستاذ سامح و الاستاذة مها على الحل المقدم من كلامنهما
وكن الحل
2^1999 × 5^1989
=2^10 × 2^1989 × 5^1989
=2^10 × ( 2 × 5 )^1989
= 2^10 × ( 10) 1989
=1024 × (10)1989
اربعة ارقام + 1990 رقم
ويكون عدد الارقام الكلى 1993 رقم والله ولى التوفيق وشكرا

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

[QUOTE=وليد رشدى]بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

[/QUOTE]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته :

بفرض لو س للأساس 4 = ص ( ص=/=0)
إذاً لو 4 للأساس س = 1/ ص
تصبح المعادله على الصوره :
4 ص + 3 = 1/ص ===> بالضرب فى ص
4ص^2 + 3 ص - 1 = 0
( 4 ص - 1 ) ( ص + 1 ) = 0
ص = 1/4 ===> س = جذر 2
ص = -1 ====> س = 1/4
بالتالى م 0 ح = { جذر 2 ، 1/4}

[QUOTE=امام مسلم]السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
من جديد أضع مرفقات الموضوع الذى ضاع أدراج الرياح
ولا حول ولا قوة إلا بالله

[/QUOTE]

(جذر س+جذر ص) (جذر س-جذرص)=5
جذرس- جذرص =1 =====>جذرس=1+جذرص
بلتعويض فى المعا دلة 2
1+2جذر ص=5
جذرص=2 =======>ص=4 س=1

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

تنويه(محمد عبدالله)
وجدت هذا المرفق عندى لحل هذا التمرين
لكن لا اعلم من صاحب الحل
فهو فى ميزان حسناته ان شاء الله

[frame="5 80"][QUOTE=امام مسلم]السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

[/QUOTE]
بفرض ان (2س-2)/(س+3) =ص
2س-2=س ص+3ص =====>س(2-ص)=3ص+2
س=(2-ص) /(3ص+2)
عندما ص=2 =======>س=0
ص= - 1 ======>س=-3[/frame]
ص=-2 =======>س=-1